2026 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（新课标 Ⅰ 卷）· 完整解答
独立作答 · 共 19 题（单选 8 · 多选 3 · 填空 3 · 解答 5）
一、单项选择题（1–8，每题 5 分）
第 1 题 样本数据 \(6,8,4,5,12\) 排序后为 \(4,5,6,8,12\)，中位数为第 3 个数 \(6\)。
B
第 2 题 由 \(2\boldsymbol a + y\boldsymbol b = x\boldsymbol a - 3\boldsymbol b\)，因 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\) 不共线，对应系数相等：\(x=2,\ y=-3\)。
A
第 3 题 \(\sin\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac12,\ \cos\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac12,\ \tan\dfrac{5\pi}{4}=1\)，故 \(A=\left\{-\dfrac12,\dfrac12,1\right\}\)。
与 \(B=\left\{-\dfrac{\sqrt3}{2},-\dfrac12,1\right\}\) 求交得 \(\left\{-\dfrac12,1\right\}\)。
C
第 4 题 \(y'=5+\dfrac8x\)，在 \(x=1\) 处 \(y'=13\)。切线 \(y-5=13(x-1)\)，即 \(y=13x-8\)。
D
第 5 题 \(C_1\) 过 \((4,8)\)：\(64=8p_1\Rightarrow y^2=16x\)，焦点 \((4,0)\)；
\(C_2\) 过 \((4,8)\)：\(16=16p_2\Rightarrow x^2=2y\)，焦点 \(\left(0,\dfrac12\right)\)。
距离 \(=\sqrt{16+\dfrac14}=\dfrac{\sqrt{65}}{2}\)。
D
第 6 题 \(f'(x)=\dfrac{a-(x+1)e^x}{(e^x+a)^2}\)。极值点处 \(a=(x_0+1)e^{x_0}\)，代入 \(f(x_0)=1\)：
\(x_0+2=e^{x_0}(x_0+2)\Rightarrow e^{x_0}=1,\ x_0=0\)，故 \(a=1\)（验证 \(f(0)=\tfrac{2}{2}=1\)）。
B
第 7 题 12 项为 \(1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19\)（全为奇数，总和 \(108\)）。
每组 2 数之和成等差，平均组和 \(=18\)，故组和形如 \(18\pm0.5d,\ 18\pm1.5d,\ 18\pm2.5d\)。
因各数皆奇，组和必为偶 \(\Rightarrow d\) 为偶；\(d=2\) 使组和为奇（不可能），\(d=6,8\) 出现无法配出的组和。
\(d=4\) 可行：\(28{=}13{+}15,\ 24{=}17{+}7,\ 20{=}19{+}1,\ 16{=}11{+}5,\ 12{=}9{+}3,\ 8{=}5{+}3\)。
B
第 8 题 64 个点每一坐标在 \(\{-2,-1,1,2\}\) 上各坐标和为 \(0\)，故 \(\sum_U X=0\)。
去掉 \(P(1,1,1)\) 后 \(\sum_\Omega X=-3\)，共 \(63\) 点，\(E(X)=-\dfrac{3}{63}=-\dfrac1{21}\)。
A
二、多项选择题（9–11，每题 6 分）
第 9 题 \(z=3+2i\)。
A：\(\bar z=3-2i\) ✓
B：\(|z|=\sqrt{13}\ne5\) ✗
C：\(z^2=9-4+12i=5+12i\) ✓
D：\(\dfrac{z+3}{z-1}=\dfrac{6+2i}{2+2i}=2-i\notin\mathbb R\) ✗
AC
第 10 题 设 \(AB\) 为 \(x\) 轴，\(C\) 的垂足方向取 \((0,2,0)\)，\(D\) 方向与之成 \(60^\circ\) 取 \(\left(0,\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2\right)\)。
则 \(CD^2=\Delta x^2+\left|(0,2,0)-\left(0,\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2\right)\right|^2=\Delta x^2+(4+1-2)=\Delta x^2+3\ge3\)。
A：\(C,D\) 投影同向远离时 \(\angle CAD\to0\)，不恒成立 ✗
B：\(CD\ge\sqrt3\) 可小于 \(\sqrt5\) ✗
C：\(AB\perp CD\) 即 \(\Delta x=0\)，此时 \(\overrightarrow{CD}=\left(0,-\tfrac32,\tfrac{\sqrt3}2\right)\) 与平面 \(ABD\)（法向 \((0,-\sqrt3,1)\)）平行，故 \(CD\perp\) 平面 \(ABD\) ✓
D：\(AB\perp\) 平面 \(ACD\) 时 \(A,C,D\) 共面于 \(x=\) 常数，\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=1\ne0\)，故 \(AC\not\perp AD\) ✗
C
第 11 题 三圆心 \((-1,0),(1,0),(0,\sqrt3)\) 构成边长 2 的正三角形，半径均为 1。
A：斜率过大时直线近竖直，无法同时与三圆相交 ✗
B：\(s_1=s_2=s_3\Leftrightarrow\) 直线到三心等距；非共线三点的等距直线恰 3 条，到三心距离 \(\tfrac{\sqrt3}2<1\) 均有效 ✓
C：\(s_1+s_2+s_3=3\) 为 2 参数中 1 方程，解集为曲线，含无穷多条 ✓
D：\(b=0\) 时 \(d_1=d_2=\dfrac{|k|}{\sqrt{k^2+1}},\ d_3=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt{k^2+1}}\)，令 \(t=k^2+1\)，
\(S=\dfrac{4+2\sqrt{t-3}}{\sqrt t}\)，求导得 \(t=\dfrac{21}4\)，\(S_{\max}=\dfrac{14}{\sqrt{21}}=\dfrac{2\sqrt{21}}3\) ✓
BCD
三、填空题（12–14，每题 5 分）
第 12 题 \(3x^2-6y^2=1\Rightarrow\dfrac{x^2}{1/3}-\dfrac{y^2}{1/6}=1\)，
\(a^2=\tfrac13,\ b^2=\tfrac16,\ c^2=\tfrac12\)，\(e=\sqrt{\dfrac{1/2}{1/3}}=\dfrac{\sqrt6}{2}\)。
\(\dfrac{\sqrt6}{2}\)
第 13 题 偶函数要求 \(\theta=\tfrac\pi2\) 或 \(\tfrac{3\pi}2\)。\(\theta=\tfrac\pi2\) 得 \(2\cos(ax)\) 在 0 附近递减，舍；
取 \(\theta=\tfrac{3\pi}2\)，\(f(x)=-2\cos(ax)\)。使其在 \(\left(0,\tfrac\pi2\right)\) 递增（且递增区间恰为该区间）取 \(a=2\)，\(f(x)=-2\cos2x\)。
\(f\!\left(\tfrac{2\pi}3\right)=-2\cos\tfrac{4\pi}3=1\)。
\(a=2,\quad f\!\left(\tfrac{2\pi}3\right)=1\)
第 14 题 由 \(S_{3n}=n^2+n\) 得每 3 项一组之和 \(a_{3m-2}+a_{3m-1}+a_{3m}=2m\)。
连续 9 项必整含 2 个完整组（整含 3 组将要求 \(2m,2m{+}2,2m{+}4\) 成等比，不可能）。
设两整组下标为 \(m,m+1\)，则 \(q^3=\dfrac{m+1}{m}\)，欲 \(q\) 最大须 \(m\) 最小；含第 1 组会被迫整含 3 组，故最小 \(m=2\)，\(q^3=\dfrac32\)。
\(q_{\max}=\sqrt[3]{\dfrac32}=\dfrac{\sqrt[3]{12}}{2}\)
四、解答题（15–19）
第 15 题（13 分）
建系：\(C=(0,0,0),A=(a,0,0),B=(0,a,0),C_1=(0,0,h)\)，\(AC=BC=a,\ CC_1=h\)。
\(D=\left(\tfrac a2,\tfrac a2,0\right),\ E=\left(\tfrac a2,0,\tfrac h2\right)\)。
(1) 取 \(AC\) 中点 \(M\)：\(DM\parallel BC\)（\(\triangle ABC\) 中位线），\(EM\parallel CC_1\)（\(\triangle ACC_1\) 中位线），
故平面 \(DEM\parallel\) 平面 \(BCC_1B_1\)，得 \(DE\parallel\) 平面 \(BCC_1B_1\)。
（坐标验证：\(\overrightarrow{DE}=\left(0,-\tfrac a2,\tfrac h2\right)\)，平面 \(BCC_1B_1\) 即 \(x=0\)，法向 \((1,0,0)\)，内积为 0，且 \(D\notin\) 平面。）
(2) \(h=2\)。平面 \(ACC_1A_1\) 即 \(y=0\)，法向 \(\boldsymbol n=(0,1,0)\)。
\(\sin45^\circ=\dfrac{|\overrightarrow{DE}\cdot\boldsymbol n|}{|\overrightarrow{DE}|}=\dfrac{a/2}{\sqrt{a^2/4+1}}=\dfrac{\sqrt2}2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2/4}{a^2/4+1}=\dfrac12\Rightarrow a^2=4,\ a=2\)。
因 \(DE\parallel\) 平面 \(x=0\)，距离 \(=\dfrac a2=1\)。
(2) 直线 DE 到平面 \(BCC_1B_1\) 的距离 = 1
第 16 题（15 分）
(1) \(AC^2=9+12-2\cdot3\cdot2\sqrt3\cdot\tfrac{\sqrt3}3=21-12=9,\ AC=3\)。
\(\cos A=\dfrac{9+9-12}{2\cdot9}=\dfrac13\)。
(2) 取 \(A=(0,0)\)，\(AC\) 沿 \(x\) 轴，\(C=(3,0)\)；\(\sin A=\tfrac{2\sqrt2}3\)，\(B=(1,2\sqrt2)\)。
\(D=(-t,-2\sqrt2 t)\ (t>0)\) 在 \(BA\) 延长线上；\(AE\perp AC\Rightarrow E=(0,e)\)。
由 \(DE\parallel BC=(2,-2\sqrt2)\) 得 \(e=-3\sqrt2 t\)，\(|DE|=\sqrt3\,t=\sqrt6\Rightarrow t=\sqrt2\)。
则 \(E=(0,-6)\)，\(CE=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt5\)。
(1) \(\cos A=\tfrac13\) (2) \(CE=3\sqrt5\)
第 17 题（15 分）
一旦投中即停（首次命中），若连续 \(N\) 次全未中则停于第 \(N\) 次。记 \(q=1-p\)，则
\(P(X=k)=q^{k-1}p\ (1\le k\le N-1),\quad P(X=N)=q^{N-1}p+q^N=q^{N-1}\)。
(1) \(N=4,p=\tfrac13,q=\tfrac23\)：
| \(X\) | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \(P\) | \(\tfrac13\) | \(\tfrac29\) | \(\tfrac4{27}\) | \(\tfrac8{27}\) |
(2)(i) \(k\le N-1\) 时，\(X>k\) 等价于前 \(k\) 次全未命中：\(P(X>k)=(1-p)^k\)。
(2)(ii) \(k+m\le N-1\) 时，\(P(X>k+m\mid X>k)=\dfrac{(1-p)^{k+m}}{(1-p)^k}=(1-p)^m=P(X>m)\)（无记忆性）。 ∎
(2)(i) \(P(X>k)=(1-p)^k\)
第 18 题（17 分）
(1) \(c=1,\ e=\tfrac12\Rightarrow a=2,\ b^2=3\)。椭圆 \(C:\ \dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\)。
设 \(l:\ y=m(x+1)\ (m>0)\)，\(R=-P\)。代入得
\((3+4m^2)x^2+8m^2x+4m^2-12=0\)，左焦半径 \(r=2+\tfrac x2\)。
(2)(i) \(F\) 在弦 \(PQ\) 上，面积条件即 \(PQ=3PF\)，亦即 \(FQ=2PF\)（\(P\) 在第三象限）。
由 \(\tfrac1{PF}+\tfrac1{FQ}=\tfrac{2a}{b^2}=\tfrac43\) 解得 \(PF=\tfrac98,FQ=\tfrac94\)，
对应 \(x_P=-\tfrac74,\ x_Q=\tfrac12\)，\(x_P+x_Q=-\tfrac54=\dfrac{-8m^2}{3+4m^2}\Rightarrow m^2=\tfrac54,\ m=\dfrac{\sqrt5}2\)。
直线 \(l:\ y=\dfrac{\sqrt5}{2}(x+1)\)。
(2)(ii) 由椭圆第三定义，\(k_{QP}\cdot k_{QR}=-\dfrac{b^2}{a^2}=-\dfrac34\)，而 \(k_{QP}=m\Rightarrow k_{QR}=-\dfrac{3}{4m}\)。
\(\tan\angle PQR=\left|\dfrac{m+\frac{3}{4m}}{1-\frac34}\right|=4m+\dfrac3m\ge2\sqrt{12}=4\sqrt3\)，
当 \(m=\dfrac{\sqrt3}2\) 取等。
(1) \(\tfrac{x^2}4+\tfrac{y^2}3=1\) (2)(i) \(y=\tfrac{\sqrt5}2(x+1)\) (ii) \(\tan\angle PQR\) 最小值 \(=4\sqrt3\)
第 19 题（17 分）
全题恒有：\(x<0\) 时 \(f(x)=2^x\in(0,1)\)。
(1) \(f(-1)=\tfrac12\)。令 \(t=-1+d\)，需 \(f(t)>\tfrac12\)：\(t<0\) 时 \(2^t>\tfrac12\Rightarrow t>-1\)；\(t\ge0\) 时 \(1-t>\tfrac12\Rightarrow t<\tfrac12\)。
合并 \(t\in\left(-1,\tfrac12\right)\)，故 \(d=t+1\in\left(0,\tfrac32\right)\)。即 \(D(-1)=\left(0,\tfrac32\right)\)。
(2) \(f\) 为奇函数：\(f(x)=2^x(x<0),\ f(0)=0,\ f(x)=-2^{-x}(x>0)\)。
求得：\(x_0<0\) 时 \(D(x_0)=(0,-x_0)\)；\(x_0>0\) 时 \(D(x_0)=(-\infty,-x_0]\cup(0,\infty)\)。
由 \(f(x_1)\le f(x_2),x_1x_2\ne0\) 分三类：
• 同负 \(x_1\le x_2<0\)：\((0,-x_2)\subseteq(0,-x_1)\) ✓
• 同正 \(0
• 异号 \(x_2<0
(3)(i) 反设 \(f(0)<1\)。取 \(x_0<0\) 使 \(f(x_0)=2^{x_0}>f(0)\)，由性质① 得 \(D(x_0)\subseteq D(0)\)。
而 \((0,-x_0)\subseteq D(x_0)\subseteq D(0)\)，故对 \(d\in(0,\min(-x_0,1))\) 有 \(f(d)>f(0)\)；
但性质② 给出 \(f(d)
(3)(ii) 先证 \(a<0\) 时 \(D(a)\subseteq(0,\infty)\)。设 \(0
(1) \(D(-1)=\left(0,\tfrac32\right)\) (2)(3) 证明如上
五、答案汇总表
| 题号 | 答案 |
|---|
| 1 | B |
| 2 | A |
| 3 | C |
| 4 | D |
| 5 | D |
| 6 | B |
| 7 | B |
| 8 | A |
| 9 | AC |
| 10 | C |
| 11 | BCD |
| 12 | \(\dfrac{\sqrt6}{2}\) |
| 13 | \(a=2,\quad f\!\left(\tfrac{2\pi}3\right)=1\) |
| 14 | \(\dfrac{\sqrt[3]{12}}{2}\;\left(=\sqrt[3]{3/2}\right)\) |
| 15 | (1) 证明；(2) 距离 \(=1\) |
| 16 | (1) \(\cos A=\tfrac13\)；(2) \(CE=3\sqrt5\) |
| 17 | (1) 分布列 \(\tfrac13,\tfrac29,\tfrac4{27},\tfrac8{27}\)；(2)(i) \((1-p)^k\)；(ii) 证明 |
| 18 | (1) \(\tfrac{x^2}4+\tfrac{y^2}3=1\)；(2)(i) \(y=\tfrac{\sqrt5}2(x+1)\)；(ii) \(4\sqrt3\) |
| 19 | (1) \(D(-1)=\left(0,\tfrac32\right)\)；(2)(3) 证明 |
个别说明：
• 第 13 题：严格而言 \(a=\pm1,\pm2\) 均使 \(f\) 在 \((0,\tfrac\pi2)\) 递增，此处取最符合命题意图的 \(a=2\)；无论取何值，\(f(\tfrac{2\pi}3)=1\) 不变。
• 第 18(i) 题：原图"\(\triangle PFQ\)"中 \(F\) 落在弦 \(PQ\) 上会使三角形退化，应为 \(\triangle PFR\)（面积比 \(PQ:PF=3:1\)），据此 \(P\) 恰在第三象限，结果自洽。